Научная визуализация, 2022, том 14, номер 5, страницы 1 - 15, DOI: 10.26583/sv.14.5.01
Исследование алгоритма построения поверхности второго порядка, заданной девятью точками
Автор: А.Л. Хейфец1
Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия
1 ORCID: 0000-0001-6490-359X, heifets@yandex.ru
Аннотация
Приведена экспериментальная реализация исторической задачи о построении квадрики, заданной девятью точками. Рассмотрен известный алгоритм Энгеля (Engel J. H., 1889). Ал-горитм до последнего времени показывал лишь теоретическую возможность построения квадрики. Дана характеристика программного обеспечения, позволившего эксперименталь-но реализовать и исследовать алгоритм. Программы созданы на языке AutoLisp. Экспери-менты проведены в пакете AutoCAD.
Приведены геометрические построения, приводящие к реализации задачи. Подробно рассмотрены этапы построения. Первый и основной из них – от задания девяти точек к по-строению коники на поверхности квадрики. Последующие этапы – задание определителя квадрики из трех коник, построение центра и главных осей квадрики, каркаса и итоговой поверхности. Исследованы особенности построений на всех этапах. Основное внимание уде-лено выявлению и исследованию внутренних взаимосвязей параметров, приводящих к по-явлению действительных или мнимых решений.
Научная новизна работы состоит в определении условий, при которых решение достига-ется без операций с мнимыми параметрами. Определена область точных действительных решений для набора девяти точек. Показано, что эта область имеет вид кривой линии, ко-торая аппроксимируется гиперболой. Предложен алгоритм ее построения.
Предложен и исследован алгоритм построения главных осей квадрики, заключающийся в определении секущей плоскости, для которой основание перпендикуляра, опущенного из центра квадрики, совпадает с центром коники сечения. При этом перпендикуляр принимает положение одной из главных осей квадрики.
Актуальность работы заключается в экспериментальной реализации исторического алго-ритма Энгеля, создании и демонстрации современных геометрических методов решения сложных геометрических задач.
Ключевые слова: 3D компьютерное геометрическое моделирование, квадрики, поверхности второго поряд-ка, задача о девяти точках квадрики, AutoCAD, AutoLisp.
