ВИРТУАЛЬНЫЙ СТЕНД ИССЛЕДОВАНИЯ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ
Е. Березкин
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Москва, Россия
Оглавление
2. Комплекс технических средств виртуального стенда
3. Визуализация параметров и спектральных характеристик сигналов
Аннотация
Предлагается программная модель исследовательского стенда для изучения основных принципов дискретизации непрерывных сигналов по времени. Приводится схема технических средств виртуального стенда с возможностью наблюдения сигналов в разных точках на виртуальном осциллографе. Дается обоснование принятых решений. Демонстрируется процесс восстановления исходного детерминированного сигнала по дискретным отсчетам. Вычисляются спектральные характеристики сигналов с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Ключевые слова: дискретизация, частотный критерий, интервал дискретизации.
1. Введение
Для практических задач обработки данных обычно требуется значительно меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков в виде непрерывного аналогового сигнала. Рациональное выполнение дискретизации и квантования исходных данных дает возможность снизить затраты на хранение и обработку информации [1].
В технике связи
при передаче различных сигналов мы имеем обычно дело с функциями времени,
спектр которых ограничен, т.е. в спектре которых не содержатся частоты выше
некоторой граничной. Такие функции обладают замечательным свойством,
установленным впервые в 1933 г. В. А. Котельниковым и выраженным им в теореме,
играющей фундаментальную роль в теории связи и, в частности, в импульсной
связи. Теорема в формулировке автора гласит: «Любую функцию 
, состоящую из частот от 0 до 
, можно передавать с
любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 
секунд».
При изучении элементов теории дискретизации непрерывных функций крайне полезной является визуализация процесса дискретизации, что позволяет существенно интенсифицировать учебный процесс [2]. Учебные планы многих технических направлений подготовки бакалавров и специалистов включают дисциплины, которые содержат разделы по изучению принципов дискретизации непрерывных сигналов. Как правило, практическая поддержка занятий по цифровой обработке сигналов основывается на использовании профессиональных пакетов MatLAB [3], MathCAD [4] и LabVIEW [5]. Однако такой подход требует существенных затрат ресурсов и аудиторного времени. Альтернативный вариант обучения состоит в создании специализированных исследовательских лабораторных стендов [6,7]. Существенным препятствием реализации этого варианта является необходимость наличия соответствующей лабораторной базы.
В данной работе задача ставится следующим образом: обеспечить поддержку процесса обучения практическими занятиями наиболее экономным способом в условиях ограниченных ресурсов и аудиторных часов без снижения качества обучения. Такое решение актуально, когда осуществляется подготовка студентов, не специализирующихся в области цифровой обработки сигналов, но которые должны обладать соответствующими знаниями и навыками.
Поставленную задачу предлагается решать путем создания программной модели исследовательского стенда. Соответствующая программная модель разработана и реализована автором в среде программирования DELPHI с использованием средства подготовки гипертекстовых справочных систем HTML Help Workshop [8].
Основные решения, которые были приняты при разработке виртуального исследовательского стенда, обосновываются известными теоретическими положениями и математическими моделями [9,10].
2. Комплекс технических средств виртуального стенда
Технические средства исследовательского стенда реализуются в виде программного комплекса, функциональная модель которого приведена на рис. 1. В функциональной модели программного комплекса представлено 10 объектов, каждый из которых имеет свои свойства и задаваемые параметры. Для каждого объекта работают свои алгоритмы в зависимости от выполняемых им функций. Они либо преобразуют сигнал по заданным правилам, либо выводят его в интерфейс отображения.
Рис. 1. Функциональная модель работы программного комплекса
Следует отметить, что указанные инструментальные программные средства комплекса научной визуализации по существу реализуют исследовательский стенд (рис. 2), обладающий широкими функциональными возможностями, которые позволяют формировать различные сигналы, выполнять их дискретизацию, восстанавливать по дискретным отсчетам первоначальную форму и вычислять их спектральные характеристики с помощью алгоритма БПФ.
Рис. 2. Обобщенная структура технических средств, предназначенных для исследования сигналов
На обобщенной структуре технических средств приведены:
· генератор, воспроизводящий исследуемый сигнал;
· аналого-цифровой преобразователь (АЦП), дискретизирующий сигнал по времени и квантующий по уровню;
· идеальный фильтр низких частот (ФНЧ), который необходим для восстановления сигнала по дискретным отсчетам;
· ЭВМ, реализующие алгоритмы оценки и визуализации спектра сигнала, корреляционной функции и спектральной плотности средней мощности;
· осциллограф, который используется как средство отображения исходного непрерывного сигнала, дискретизированного сигнала и сигнала, восстановленного идеальным ФНЧ.
Для генератора задаются: тип сигнала (выбор из
списка – гармонический сигнал, прямоугольные импульсы, гауссов шум и смешанный
сигнал); длина сигнала 
(произведение количества точек
дискретизации на 
);
параметры сигнала. Для гармонического сигнала вводятся амплитуда, частота и
фаза сигнала. Для импульсов – амплитуда, период и длительность прямоугольного
импульса. Для гауссова шума – математическое ожидание и среднеквадратическое
отклонение случайной величины.
Для АЦП вводятся интервал дискретизации и
размер одного кванта. Для ФНЧ вводится частота среза 
. Кроме того, для ФНЧ задается
параметр «Показывать составляющие». При его установке осциллограф будет
отображать координатные детерминированные функции времени
,
сложение которых с весовыми коэффициентами 
и восстанавливает
исходный сигнал. Это необходимо для более ясного понимания формулировки
теоремы, так как функция с ограниченным
спектром может быть представлена рядом
,
называемым рядом Котельникова. Например, разложение в ряд Котельникова экспоненциального импульса будет иметь вид, представленный на рис. 3.
Рис. 3. Разложение экспоненциального импульса в ряд Котельникова
3. Визуализация параметров и спектральных характеристик сигналов
После ввода необходимых данных и параметров активируется кнопка «Моделировать». В результате на вкладках «Осциллограф», «Спектр амплитуд», «Корреляционная функция» и «Спектральная плотность мощности» будут построены смоделированный сигнал и его спектральные характеристики.
На виртуальном осциллографе можно наблюдать сигнал на каждом этапе обработки. А именно, непрерывный, дискретный и восстановленный сигнал.
На вкладке «Спектр амплитуд» отображается 
. При дискретном
представлении сигналов аргумент 
заменяется номерами отсчетов 
, а преобразования
Фурье выполняются по аргументу 
(номер шага по частоте) на главных
периодах. Преобразования
называют дискретными преобразованиями Фурье
(ДПФ) [1]. При больших объемах массивов данных вычисления могут приводить к
существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при
использовании быстрого преобразования Фурье. БПФ базируется на том, что при вычислениях среди
множителей (синусов и косинусов) есть много периодически повторяющихся значений
(в силу периодичности функций). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми
множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за
счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в
зависимости от 
может в сотни раз превосходить быстродействие
стандартного алгоритма. При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ даже
точнее стандартного, так как сокращая число операций, он приводит к меньшим
ошибкам округления.
Алгоритмы БПФ основываются на свойствах
комплексной экспоненты 
: ее симметрии 
и периодичности 
с периодом, равным
длине обрабатываемой реализации сигнала . Суть алгоритма БПФ заключается в
разбиении ДПФ исходной последовательности на ДПФ подпоследовательностей меньшей
длины. Разбиение означает прореживание последовательностей во временной или в
частотной области. В отличие от ДПФ, БПФ может вычисляться только по
определенному числу точек 
соответствующему целой степени его
основания 
,
где 
– это
число этапов прореживания, 
. К наиболее используемым относятся БПФ по
основаниям 
В
данной модели реализован алгоритм БПФ с прореживанием по времени по основанию
2.
Особенностью алгоритма БПФ с прореживанием по
времени является неестественный порядок отсчетов входного сигнала,
обусловленный его многократными разбиениями на четные и нечетные
подпоследовательности (
= 0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7 для 
). Это приводит к
необходимости предварительной перестановки отсчетов исходной
последовательности до начала вычислений.
На вкладке «Корреляционная функция»
отображается 
.
Корреляционный анализ дает возможность установить в рядах цифровых данных
сигналов наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой
переменной. В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может
выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, который принимает
значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и
не зависит от значения единиц измерений.
Автокорреляционная функция сигнала 
,
конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой
формы сигнала и определяется интегралом от произведения двух копий заданного
сигнала 
,
сдвинутых относительно друг друга на время 
,
.
На вкладке «Спектральная плотность мощности»
отображается 
.
Спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром принято называть
функцию, в строгом математическом смысле определяемой как
,
где 
– спектральная плотность - й реализации на отрезке
.
Из теоремы Хинчина–Винера энергетический спектр и корреляционная функция являются парой преобразования Фурье:
Это говорит о том, что спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса является амплитудным спектром автокорреляционной функции.
На рис. 4 и рис. 5 в качестве примера представлены электронные формы отображения и исследования тестовых сигналов (обрывок гармонического колебания и пачка прямоугольных импульсов) на разных этапах их обработки, а также их спектральные характеристики.
| а) | б) |
 |
 |
| в) | г) | д) |
 |
 |
 |
| е) | ж) | з) |
 |
 |
 |
Рис. 4. Экранные формы исследования обрывка гармонического сигнала:
а –
восстановленный сигнал на выходе идеального ФНЧ; б – координатные
детерминированные функции с весовыми коэффициентами 
; в – отсчеты значений исходного сигнала, взятые через 
; г –
корреляционная функция детерминированного сигнала 
; д – спектральная характеристика дискретизированного сигнала 
; е –
сигнал с шумом; ж – спектральная
характеристика сигнала с шумом ; з – спектральная плотность средней
мощности 
| а) | б) |
 |
 |
| в) | г) | д) |
 |
 |
 |
Рис. 5. Экранные формы исследования пачки прямоугольных импульсов:
а –
исходная пачка прямоугольных импульсов; б – восстановленный сигнал на выходе
идеального ФНЧ; в – координатные детерминированные функции с весовыми
коэффициентами ; г – спектральная характеристика
дискретизированного сигнала ; д – корреляционная функция
детерминированного сигнала
На форме отображения спектральных характеристик предусмотрены размерная сетка с подписанными значениями отсчетов по горизонтали и вертикали. Имеются инструменты для удобного просмотра графиков: передвижение графиков в любом направлении, увеличение определенного участка графика, масштабирование графика по области видимости. Реализованная программная модель отлаживалась с позиций максимально правильной реакции на моделируемые ситуации и полного совпадения теоретических расчетов с практически получаемыми результатами. Цифровая обработка тестовых сигналов, приведенная на рис. 4 и рис. 5, наглядным образом демонстрирует состоятельность данного утверждения.
4. Заключение
В целом, виртуальный исследовательский стенд интенсифицирует учебный процесс и обеспечивает формирование знаний, умений и навыков на уровне применения, а также на уровне творчества. Весь программный комплекс учебных материалов реализует системно-деятельностный подход, который акцентирует внимание на результате образования, причем в качестве результата рассматривается не сумма усвоенной информации (математических моделей), а способность действовать в определенных ситуациях. Кроме того, виртуальный стенд позволяет сократить аудиторное время на изучение соответствующего раздела технической дисциплины без ухудшения качества обучения. Он незаменим, если в вузах распределенного университета имеется дефицит педагогических и лабораторных ресурсов для качественного преподавания.
Список литературы
1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноровский. – М.: Советское радио, 1986. – 512 с., ил.
2. Березкин Е.Ф. Основы теории информации и кодирования: Учебное пособие / Е.Ф. Березкин. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. Сер. Библиотека ядерного университета. – 312 с.
3. Signal Processing Toolbox. Url: http://matlab.exponenta.ru/signalprocess/book2/index.php.
4. Mathcad Add-Ons: Signal Processing Extension Pack Examples. Url: http://www.adeptnordic.com/products/mathsim/mathcad/mathcad-add-ons-signal-processing-extension-pack-examples.html.
5. Федосов В.П. Цифровая обработка сигналов в LabVIEW: Учебное пособие / В.П. Федосов, А.К. Нестеренко. – М.: ДМК Пресс, 2007. – 456 с.
6. Лабораторный стенд для исследования процессов дискретизации, квантования и восстановления непрерывных сообщений. Url: http://rt.sebastopol.ua/department/working/stand/
7. Лабораторный комплекс «Теория электрической связи». Url: http://www.denar-prof.ru/products/1212
8. Березкин Е.Ф. Основы теории информации и кодирования. Лабораторный практикум: Учебно-методическое пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / Е.Ф. Березкин. – М.: МИФИ, 2009. – 84 с.
9. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов / А.Б. Сергиенко. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.
10. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для высших учебных заведений / Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. – М.: Радио и связь, 1990. – 256 с., ил.
VIRTUAL STAND FOR SIGNALS DISCRETISATION RESEARCH
E. Berezkin
National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute), Moscow, Russian Federation
EFberezkin@mephi.ru
Abstract
The program model of the research stand for studying the main principles of the discretisation of continuous signals on time is offered. The result is a technical scheme of the virtual stand, with the possibility of supervision of signals at different points on a virtual oscillograph. The substantiation of the accepted decisions is given. The process of restoration of the initial determined signal on discrete readouts is shown. Spectral characteristics of signals by means of algorithm fast Fourier transform (FFT) are calculated.
Keywords: discretisation, frequency criterion, discretisation interval.
References
1. Gonorovsky I.S. Radiotehnicheskie cepi i signaly [Radio engineering chains and signals] / I.S. Gonorovsky. – M: Sovetskoe radio [Soviet radio], 1986, p. 512, il.
2. Berezkin E.F. Osnovy teorii informacii i kodirovanija [Bases of the theory of the information and coding]: Uchebnoe posobie [The manual] / E.F. Berezkin. – M: NRNU MEPhI, 2010. Ser. Biblioteka jadernogo universiteta [The library of nuclear university], p. 312.
3. Signal Processing Toolbox. Available online: http://matlab.exponenta.ru/signalprocess/book2/index.php.
4. Mathcad Add-Ons: Signal Processing Extension Pack Examples. Available online: http://www.adeptnordic.com/products/mathsim/mathcad/mathcad-add-ons-signal-processing-extension-pack-examples.html.
5. Fedosov V.P. Tsifrovay obrabotka signalov v LabVIEW [Digital signal processing in LabVIEW]: Uchebnoe posobie [The manual] / V.P. Fedosov, A.K. Nesterenko. – M: DMK Press, 2007, p. 456.
6. Laboratornyj stend dlja issledovanija processov diskretizacii, kvantovanija i vosstanovlenija nepreryvnyh soobshhenij [The laboratory stand for research of processes of digitisation, quantisation and restore continuous messages]. Available online: http://rt.sebastopol.ua/department/working/stand/.
7. Laboratornyj kompleks «Teorija jelektricheskoj svjazi» [Laboratory complex «Theory of electrical communication»]. Available online: http://www.denar-prof.ru/products/1212.
8. Berezkin E.F. Osnovy teorii informacii i kodirovanija [Bases of the theory of the information and coding]. Laboratornyj praktikum [A laboratory practical work]: Uchebno-metodicheskoe posobie [The methodical manual]. - 2 edit., the proc. and add. / E.F. Berezkin. – M: MEPhI, 2009, p. 84.
9. Sergienko A.B. Tsifrovay obrabotka signalov [Digital signal processing]: Uchebnik dlja vuzov [Textbook for high schools] / A.B. Sergienko. – SPb.: Piter, 2003, p. 608.
10. Goldenberg L.M. Tsifrovay obrabotka signalov [Digital signal processing]: Uchebnoe posobie dlja vysshih uchebnyh zavedenij [The Manual for higher educational institutions] / L.M. Goldenberg, B.D. Matjushkin, M.N. Poljak. – M: Radio i svyaz [Radio and communication], 1990, p. 256, il.