О ПОДХОДЕ К ТРЕХМЕРНОМУ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ СЛОЖНОЙ ГЕОЛОГИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С РАЗРЫВАМИ ДЛЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ И РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОФИЗИКИ

В.А. ЛАРИЧЕВ, Д.Н. ЛЕСОНЕН, Г.А. МАКСИМОВ, Е.В. ПОДЪЯЧЕВ, А.В. ДЕРОВ

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Россия

larido@gmail.com (В.А. Ларичев)

Оглавление

• 1. Введение
• 2. Общий подход к построению границы раздела
• 3. Параметризация данных для построения границ
• 4. Описание внутренних разрывов
• 5. Упорядочение границ и объемные свойства среды
• 6. Приложения модели
• 7. Программная реализация
• Литература

             В работе представлен подход к построению и визуализации сложных трехмерных геологических структур на основе системы иерархически упорядоченных параметрических сплайновых поверхностей с разрезами. Важными оригинальными моментами этого подхода являются использование параметрических сплайновых поверхностей с внутренними разрезами для описания геофизических разрывов и сбросов, а также иерархическое упорядочение системы геологических границ в виде бинарного дерева. Трехмерные математические модели, построенные на основе такого подхода, позволяют использовать методы оптимизации для автоматического согласования параметров модели с разнородными геолого-геофизическими данными. Это позволяет решать как прямые, так и обратные задачи геофизики, опираясь на разработанную математическую модель геологической среды, а также визуализировать результаты таких решений.

1. Введение

             В настоящее время детальные трехмерные модели геологических сред становятся необходимым условием эффективной эксплуатации земных недр [1-3]. Построение таких моделей с одной стороны важно для поиска перспективных залежей полезных ископаемых (и прежде всего углеводородов) и оптимизации процессов их извлечения, а с другой - позволяет вести разработку, избегая рисков и минимизируя вред, наносимый окружающей среде.

             В частности можно отметить, что с исчерпанием крупных нефтяных месторождений, расположенных в относительно толстослоистых коллекторах, все более актуальной становится задача исследования геологических структур сложного строения [2]. А это в свою очередь повышает требования к структурной сложности и детальности используемых моделей.

             Широко используемые в настоящее время сеточные и конечно-элементные модели основаны на представлении свойств среды узлами регулярных или нерегулярных сеток [1-5]. Эти модели хорошо зарекомендовали себя при решении многих научных и промышленных геофизических задач с помощью разностных и конечно-элементных методов. Эти модели так же представляют собой хорошую основу для визуализации. Однако такое, по-существу поточечное, задание свойств среды ресурсоемко, особенно для задач, в которых присутствуют существенно разномасштабные структуры, что является важным условием построения детальной модели.

             Более того, основной проблемой при построении сеточных моделей, в которых делается попытка учесть разномасштабность структурных элементов геологических сред, является построение и перестройка разномасштабных сеток.

             В связи с этим следует обратить внимание на источники и виды информации, используемой для создания геологических моделей. Основными источниками такой информации являются данные поверхностной сейсморазведки, а также скважинные измерения, включающие различные виды каротажа (прямого измерения свойств среды вдоль скважины) и вертикальное сейсмическое профилирование (ВСП). При этом основной объем информации о структуре среды содержится в сейсмических данных, представляющих собой отражения от границ, разделяющих относительно однородные слои. Эти границы и выделяются на сейсмических разрезах как сейсмические горизонты. Данные каротажа и ВСП также в первую очередь позволяют определить границы слоев внутри и в окрестности скважин. Таким образом, исходная информация, используемая для построения модели среды, - это информация о внутренних границах среды, разделяющих области с более-менее однородными свойствами.

             Таким образом, математическая модель геологической среды может быть построена как система границ, разделяющих области с однородными свойствами. Для определения свойств среды в заданной точке, таки образом, достаточно определить ее принадлежность той или иной области.

             С учетом особенностей геологических сред можно сформулировать требования, которым должна удовлетворять математическая модель разномасштабной геологической среды [3,6-7,11-13]:

• Модель должна описывать блочно-однородную, преимущественно слоистую среду ( в которой, однако, может быть задано слабое изменение параметров внутри блока, например слабый градиент свойств).

• Границы слоев представляют собой неровные плавно меняющиеся в латеральном направлении поверхности, плавность которых, однако, может быть нарушена разрывами и значительными искривлениями, вплоть до неоднозначной проекции на горизонтальную плоскость.

• Входными данными модели являются данные о положении границ геологических слоев, которые могут быть заданы как набор точек произвольно расположенных в пространстве (с погрешностью, иногда значительной), а также непосредственно в виде сейсмограмм. В последнем случае параметры модели должны быть выбраны так, чтобы согласовать в рамках некоторой модели распространения сейсмических волн , построенные в рамках модели и экспериментальные сейсмические записи, что является уже построением модели на основе решения обратной задачи.

• Сама модель должна, по возможности, описываться минимальным числом параметров, которым можно представить геологическую структуру заданной сложности. Это требование связано с упомянутой выше возможностью построения модели на основе решения обратной задачи, и в этом случае, чем меньше варьируемых параметров, тем легче решать такую задачу.

• Одновременно, модель должна быть легко визуализируема и просто модифицируема экспертом-геологом и геофизиком на основе ясного визуального представления.

             Предлагаемая модель, удовлетворяющая этим требованиям, представляет собой набор неплоских границ, разделяющих слои с заданными свойствами, таким как скорость продольных и поперечных волн, плотность, пористость, проницаемость и др.

             При этом сами слои определяются как области пространства между соответствующими поверхностями. Границы представляют собой гладкие искривленные поверхности, в общем случае с разрывами и неоднозначной проекцией на горизонтальную плоскость. Неплоский и не параллельный в общем случае характер границ приводит к тому, что система заданных таким образом слоев не может быть линейно упорядочена, но как будет показано ниже, может быть упорядочена в виде двоичного дерева.

             Каждая поверхность строится по соответствующим ей скважинным данным и данным сейсморазведки и представляет собой параметрический бикубический сплайн, получаемый как решение оптимизационной вариационной задачи о согласовании модели и входных данных. Такой подход позволяет удовлетворить совокупности входных данных различной природы, и, в частности, различного рода граничным условиям. При этом сами границы и их дифференциальные характеристики описываются аналитически посредством небольшого числа сплайновых коэффициентов, что является важным преимуществом как при их визуализации, так и при решении различных задач, например, сейсмических задач, связанных с лучевым трассированием.

             Следует отметить, что подходы к построению математических моделей, удовлетворяющих похожим требованиям, обсуждались в работах [4-6], однако в этих работах использованы другие методы конкретной реализации модели.

2. Общий подход к построению границы раздела

             Свойства, которыми должно обладать описание границ раздела геологических слоев, определяются с одной стороны свойствами самих геологических слоев, а с другой - особенностями методов расчета волновых полей. В целом осадочные слои имеют преимущественно слоистую структуру, но в следствии различных процессов эти слои могут претерпевать сложные упругие и упруго-пластические деформации и, в частности, образовывать складки. Кроме упругих и упруго-пластических деформаций, могут происходить внутренние разломы и сдвиги, приводящие в свою очередь к разрывам отдельных границ.

             В последнее время в геофизике бикубические сплайны активно используются для описания поверхностей раздела геологических сред. Разным аспектам такого использования посвящены, например, недавние работы [8-10]. Но в традиционном подходе сплайны используются для описания гладких и слабо искривленных поверхностей и в принципе не рассматривается вопрос об использовании бикубических сплайновых поверхностей с внутренними разрезами. В то же время параметрический бикубический сплайн с разрывами на параметрической сетке может быть эффективно использован для моделирования границ, обладающих отмеченными выше свойствами на основе разнородных и произвольно распределенных в пространстве данных [7,11-13].

             Рассмотрим на простом примере общий подход к использованию параметрических бикубических сплайнов к моделированию поверхностей границ раздела по произвольно расположенным данным.

             На плоскости параметров введем прямоугольную сетку с множеством узлов. Тогда на этой сетке бикубический сплайн имеет вид:

здесь -ая базовая функция (B-сплайн), а -коэффициенты разложения бикубического сплайна по системе базовых функций.

             Считая теперь, что каждая из координат , , параметрически заданной поверхности представляет собой бикубический сплайн, будем считать, что формула (1) задает на сетке параметрический бикубический сплайн, а индекс принимает значения , и.

             Задача о построении поверхности, таким образом, может быть сведена к задаче минимизации целевого функционала, выражающего отклонение параметрической сплайновой поверхности от данных.

             Пусть для простоты данные о расположении поверхности известны в виде набора точек , параметризованных в виде , где снова принимает значения , и, а также заданы граничные условия по положению границ в пространстве и наклону границ к горизонтальной плоскости. В этом простом случае такой функционал имеет вид

Здесь первое слагаемое - это сумма квадратов отклонений параметрического сплайна от точек данных

второе и третье слагаемое задают граничные условия по положению (4) и по наклону (5) границы

здесь граница области , - производная по нормали к границе, а функции ,задают положения и наклон границы.

Четвертое слагаемое

является, по-существу, суммарной кривизной (в линейном приближении), и предназначено, с одной стороны, для регуляризации поведения поверхности в областях, где отсутствуют какие-либо данные, а с другой позволяет управлять общей гладкостью поверхности, избегая резких выбросов.

Коэффициенты ,,регулируют влияние каждого из условий.

             Теперь для построения требуемой поверхности достаточно найти множество коэффициентов сплайна (1), минимизирующих целевой функционал (2) .

             Для этого достаточно решить систему нормальных уравнений

Поскольку коэффициенты входят во все части функционала (2) квадратично, система уравнений (7) является системой линейных алгебраических уравнений с симметричной, положительно определенной матрицей.

             Решение этой системы дает коэффициенты сплайна, проходящего вблизи точек данных при дополнительных граничных условиях и условии, ограничивающем суммарную кривизну.

             Влияние каждого из дополнительных условий определяется весовыми коэффициентами.

             В более общем случае могут быть использованы другие данные и поставлены другие дополнительные условия, в зависимости от имеющихся данных.

             В частности в качестве данных о положении границ вместе со скважинными данными могут быть использованы сейсмические записи, полученные в результате поверхностной сейсморазведки [16-17]. Тогда при известной или модельной функции источника формулируется функционал в виде суммы квадратов отклонений сейсмических записей и синтетических сейсмограмм, построенных с учетом отражений от границ заданных бикубическими сплайнами. Такая задача остается линейной только при условии дополнительной априорной информации, но в принципе может решаться, как нелинейная задача, например, путем минимизации целевого функционала методом сопряженных градиентов.

3. Параметризация данных для построения границ

             Отдельно необходимо остановиться на процедуре параметризации начальных данных. В простейшем случае однозначной поверхности параметризация данных может быть выбрана в виде , , или обобщено, на случай, когда и . Последний случай, по-существу, означает линейное преобразование системы координат и позволяет описывать поверхности, которые могут быть однозначно спроектированы на некоторую плоскость, отличную от плоскости . Но такой подход не пригоден в случае неоднозначной поверхности и не дает возможность улучшить аппроксимацию за счет перераспределения параметрического пространства, без увеличения количества ячеек сетки.

             Процедура задания параметрических координат, позволяющая описывать неоднозначные поверхности, может заключаться в следующем.

В пространстве расставляется небольшое число точек, далее называемых маркерами, с заранее приписанными параметрическими координатами.     Координаты выбираются таким образом, чтобы поверхность, построенная по этим точкам, имела нужную топологию и проходила через облако данных в требуемой последовательности. Тогда параметрические координаты точек данных определяются как параметрические координаты ближайшей точки маркерного сплайна (т.е. сплайновой поверхности построенной по маркерам). На рис. 1 показана неоднозначная поверхность, построенная этим методом. Желтыми кубами обозначены точки данных, а зелеными ромбами маркеры, послужившие данными для построения маркерного сплайна.

             Заметим, что при таком подходе, расставляя маркеры, мы, по-существу, управляем распределением параметрического пространства.

             Это обстоятельство позволяет поставить вопрос о нахождении среди всех возможных параметризаций оптимальной в смысле минимизации квадратов отклонения аппроксимирующей поверхности по различным параметризациям.

             В этом случае в целевом функционале (2) варьируемыми параметрами будут не только коэффициенты сплайна, но и параметрические координаты , поставленные в соответствие точкам данных . Эта задача является уже нелинейной, но она может быть эффективно решена, например, с помощью метода сопряженных градиентов, а в качестве начального приближения может быть выбрана параметризация, полученная методом маркерного сплайна. На рис. 2 приведена иллюстрация результатов процедуры поиска оптимальной параметризации. Видно, что оптимизированная поверхность значительно лучше аппроксимирует данные.

4. Описание внутренних разрывов

             Описанный выше подход может быть обобщен на поверхности с внутренними разрывами.

             Будем рассматривать нерегулярные сетки с прямоугольными ячейками, полученные из регулярных прямоугольных сеток путем удаления некоторых ячеек и/или проведения разрезов вдоль границ ячеек.

             Возможность обобщения изложенных выше методов на нерегулярные сетки следует из явного представления для бикубических сплайнов. Действительно, в каждой из прямоугольных ячеек бикубический сплайн представлен бикубическим полиномом. Коэффициентами этого полинома являются его значения и значения его производных в угловых точках ячейки.

             Если у бикубических полиномов в двух соседних ячейках эти коэффициенты в общих узлах совпадают, а остальные коэффициенты связаны соотношениями определяющими непрерывность на границах первой и второй производной, то кусочно-заданная функция, составленная из этих двух полиномов, является непрерывной вместе с первыми и вторыми производными на общей границе этих ячеек. Это верно для любых двух ячеек, имеющих общую границу.

             Таким образом, на произвольном наборе ячеек, имеющих попарно общие границы, может быть определена кусочно-заданная функция, представленная на каждой из ячеек бикубическим полиномом, и непрерывная вместе с первыми и вторыми производными на границах ячеек, т.е. бикубический сплайн.

             Если же удастся ввести базис из бикубических B-сплайнов на такой нерегулярной сетке, то произвольный бикубический сплайн над такой сеткой можно представить в виде разложения по такому базису аналогично разложению (1).

             Пусть имеется некоторая регулярная прямоугольная сетка. Пусть из нее путем удаления некоторых ячеек и проведения разрезов вдоль линий сетки образована нерегулярная сетка, состоящая из прямоугольных ячеек. Пусть эти ячейки граничат друг с другом так, что вместе образуют односвязную область. Присвоим каждой из этих ячеек уникальный идентификационный номер . Тогда взаимное расположение ячеек будем описывать с помощью множества векторов , где числа являются номерами ячеек соседних с ячейкой , верхней, правой, нижней и левой соответственно, или равны нулю, если соответствующей соседней ячейки нет.

             Будем обозначать эти ячейки как прямоугольники , где, , координаты левой и правой, а , -верхней и нижней границ ячейки . При этом все ячейки, соседние сверху и снизу, имеют одни и те же координаты , , а слева и справа ,. Тогда вся сетка может быть обозначена как множество

             Для описания бикубического полинома на каждой из этих ячеек требуется 16 бикубических базовых функций (бикубических B-сплайнов). Это видно, если построить разложение (1) для сетки, состоящей из одной единственной ячейки. Действительно, в этом случае, соответствующее разложение (1) бикубического полинома по B-сплайнам примет вид:

где индекс указывает на то, что записано разложение бикубического полинома в ячейке с номером . Разложение (8) может быть записано для каждой отдельной ячейки независимо от существования других ячеек.

             На рис.3 а) изображена расширенная сетка (т.е. сетка в которой представлены все ячейки, в которых определены базовые функции , включая те, которые выходят за рамки основной сетки ) для основной сетки, состоящей из одной ячейки.              Единственная ячейка основной сетки на этой схеме заштрихована, а заштрихованными точками обозначены центральные узлы 16 базовых функций . Каждая из этих базовых функций отлична от нуля на квадрате из ячеек с центром в узле, обозначенном заштрихованной точкой (см. рис 3 б). Далее будем считать что, заштрихованные точки условно обозначают соответствующие базовые функции . С каждой такой точкой можно связать соответственно коэффициент . Для двух соседних ячеек соответствующая схема имеет вид рис.3 а). На этом рисунке черными точками обозначены базовые функции, участвующие в описании бикубического полинома в обеих соседних ячейках. Если коэффициенты, связанные с этими базовыми функциями в разложениях вида (8), для обеих ячеек совпадают, то кусочно-заданная функция, составленная из бикубических полиномов в этих двух ячейках, является гладкой, в том числе и на их общей границе. Продолжая добавлять ячейки к свободным границам уже имеющихся ячеек, получим произвольную нерегулярную сетку с прямоугольными ячейками. При этом, для того чтобы функция, кусочно-заданная разложениями (8), в каждой такой ячейке была гладкой, достаточно, чтобы в разложениях для соседних ячеек коэффициенты перед общими базовыми функциями этих ячеек совпадали.

             Пусть всего имеется различных базовых функций и, соответственно различных коэффициентов из набора . Тогда каждому коэффициенту и соответствующей ему базовой функции присвоим номер . Таким образом, имеем соответствие , вместо совпадающих коэффициентов и функций имеем соответственно и где . Тогда вместо разложения (1) можно записать

             Вид целевого функционала не будет зависеть от использования представления (9) на нерегулярной сетке и, следовательно, все приведенный выше подход, основанный на целевом функционале (2) может быть использован и для сплайновых поверхностей, заданных на нерегулярной сетке.

На рисунках 4 и 5 приведены примеры поверхностей, построенных на различных нерегулярных сетках.

             В рамках описываемого подхода возможна также постановка задачи, в которой аппроксимирующая поверхность строится таким образом, что ее край (внешний или внутренний) в процессе оптимизации находится на другой поверхности, т.е. граничное условие формулируется как принадлежность края одной поверхности (линии) к некоторой другой поверхности.

             Для этого необходимо изменить части целевого функционала (4) и (5), отвечающие за поведение границ, заменив явные функции и на параметризованные кривые, лежащие на поверхности, к которой требуется привязать край и, после этого, проварьировать по положению такой кривой на поверхности. Конечно, точное решение такой задачи, как правило, невозможно, если край, который привязывают, принадлежит сплайну, заданному на параметрической сетке, отличающийся по своим параметрам (например количеством ячеек), от параметрической сетки поверхности к которой привязывают этот край, но решение в смысле минимума соответствующего целевого функционала тем не менее может быть построено.

Пример решения такой задачи показан на рис. 6

5. Упорядочение границ и объемные свойства среды

             Граничные поверхности в рамках описываемого подхода могут вычисляться независимо друг от друга. Это во многих случаях приводит к взаимным пересечениям, или, с точки зрения моделирования среды, одна из поверхностей отсекает другую. Чтобы описать сложные геологические структуры, границы упорядочиваются в иерархическую систему, описываемую бинарным деревом. Это бинарное дерево строится следующим образом. В начале выбирается первая поверхность в иерархии (например, дневная поверхность), она становится корнем дерева. Эта поверхность делит пространство на два полупространства условно называемых «верхнее» и «нижнее». Ассоциированные с границей свойства среды приписываются нижнему полупространству. Следующая граница проходит только в одном из полупространств относительно предыдущей границы и отсекается границей, стоящей выше ее в иерархии, т.е. чей узел в дереве расположен ближе к корню. Эта граница также делит оставшееся полупространство на две части — «верхнюю» и «нижнюю» и снова свойства, ассоциированные с этой границей, приписываются «нижнему» полупространству и т.д.

             Эта процедура позволяет в рамках «слоистой» топологии описывать достаточно сложные геологические структуры, границы которых могут в общем случае иметь значительную кривизну, могут иметь неоднозначную проекцию на горизонтальную плоскость, разрывы, выклинивания, сбросы и другие особенности.

             Близкий подход, основанный на иерархическом упорядочении поверхностей, предложен в работах [6], в ней так же показаны «геологические» основания построения иерархии поверхностей. Но в отличие от предлагаемого подхода, в работе [6] предлагается строить и хранить пересечения поверхностей, как триангулированных, так и заданных аналитически, в то время как использование для построения границ системы вертикальных лучей позволяет избегать фиксирования линий пересечения. К этому подходу близко иерархическое упорядочение объемов, описываемых R – функциями, использованное в работе [5].

             В иерархически упорядоченной модели геологической среды в качестве критерия для определения положения точки относительно границы используется чётность пересечения вертикального луча с границей. Использование иерархии границ позволяет построить эффективные алгоритмы для определения положения точки в модели, учёта выходящих за соответствующую область участков границ, построения сеток и лучевых трасс. Скорость алгоритмов не зависит от количества границ, а только от высоты дерева иерархии. Учёт лишних участков границ происходит автоматически в соответствии с иерархией.

             Для определения положения точки в модели иерархия проходится от корня дерева. На каждом шаге определяется положение точки относительно соответствующей границы. В результате определяется положение точки в иерархии модели и соответствующие ей свойства среды.

Примеры визуализации упорядоченной иерархической системы поверхностей показаны на рис. 7.

6. Приложения модели

             Основной задачей представленного подхода является построение модели сложных геологических структур, автоматизация этого на основе решения оптимизационной задачи и прямая визуализация построенной математической с возможностью ее визуального редактирования.

             Также представленный подход может быть эффективно использован для построения и визуализации пространственных сеток с учетом структурных особенностей модели [14] , что является актуальной задачей, например, для конечно-разностного или конечно-элементного моделирования гидродинамики нефтяных пластов с учетом тепломассопереноса, решения волновых задач и задач теории упругости. В задачах со сложной геометрией процесс задания сеток может быть весьма трудоемким и, по существу, составлять основную часть расчета. На рис. 8 показаны адаптированные цилиндрическая и прямоугольная сетки, построенные для модели, представленной на рис. 7.

Отметим, что другие подходы к построению сеток, основанные на структурных иерархических моделях, представлены в работах [4-6].

             Кроме того, для представляемой модели разработаны алгоритмы расчета волнового поля в лучевом приближении. При этом расчет траектории луча проводится в динамическом интерактивном режиме, что позволяет непосредственно визуально анализировать его детали в процессе расчета и корректировать входные параметры лучевой модели, такие как последовательность и тип отражений и преломлений. При расчете волнового поля вдоль лучей вычисляется амплитуда, фаза и поляризация. Алгоритмы прямого расчета лучей послужили основой решения задачи лучевой трассировки от источника к приемнику. А также задачи вычисления волнового поля вдоль лучей. На рис. 9 показан прямой расчет лучевой траектории в слоистой среде со складками (слева) и процесс поиска трассы «источник-приемник» (справа). Визуализация этого процесса может помочь сейсмологу представить процесс формирования волнового поля в сложной среде.

7. Программная реализация

             Описанные в работе идеи и алгоритмы реализованы в экспериментальном программном комплексе GeoViewer, разработанном авторами этой статьи. Большая часть иллюстраций, приведенных в статье, выполнена с его помощью. Непосредственно визуализирующая часть этого программного комплекса основана на библиотеке OpenGL. GeoViewer позволяет визуально редактировать все элементы модели: данные, маркеры, поверхности, сетки, лучевые траектории и др. Программа позволяет просматривать разрезы и сечения модели.

             Для ускорения работы графического представления модели, низкоуровневые графические примитивы, используемые для отображения поверхностей (как правило, треугольники), распределяются в системе вложенных параллелепипедов и хранятся в структуре описываемой восьмеричным деревом. Программный комплекс GeoViewer реализован для операционных систем MS Windows и Linux.

             В заключении отметим, что элементы разработанной технологии трехмерного математического моделирования геологических сред, в части касающейся построения сложных сплайновых аппроксимаций, были переданы Центральной геофизической экспедиции и с успехом применяются в индустриальных программных комплексах DV-Discovery и DV-Geo.

Литература

1. Жан-Клод Дюлак Обоснование необходимости следующего поколения решений по созданию геологических моделей // Oil and Gas Eurasia 2008 No. 4

2. А.А.Аузин, В.В.Глазнев Разработка трехмерных компьютерных моделей геологических сред // Вестн. Воронеж. ун-та. Геология. 2000. Вып. 5(10).

3. А. Кашик, С. Билибин, Г. Гогоненков, С. Кириллов Новые технологии при построении цифровых геологических моделей месторождений углеводородов // Технологии ТЭК Июнь 2003

4. G. Caumon, B. Lévy, L. Castanié et J.-C. Paul, Visualization of grids conforming to geological structures: a topological approach. // Computers and Geosciences. 2005. Vol 31, Issue 6, p. 671-680.

5. V. Adzhiev, E. Kartasheva, T. Kunii, A. Pasko, B. Schmitt Cellular-functional modeling of heterogeneous objects // Proc. 7th ACM Symposium on Solid Modeling and Applications, Saarbrucken, Germany (June 17 - 21, 2002), Konwoo Lee and N.M. Patrikalakis (Eds.), ACM Press, 2002, pp. 192-203.

6. B.S. Brandel, S. Schneider, M. Perrin, N. Guiard, J.F. Rainaud, P. Lienhardt, Y. Bertrand. Automatic Building of Structured Geological Models. // Journal of Computing and Information Science in Engineering 2005 5(2) pp.138-148.

7. Ларичев В.А., Лесонен Д.Н., Максимов Г.А.,Подъячев Е.В., Деров А.В. 3D модель геологической среды для рассчета волновых полей /Научная сессия МИФИ - 2004. Сборник научных трудов. - 2004. - Т.5 с. 92-93

8. Dominique Apprato, Christian Gout and Dimitri Komatitsch A New Method for Ck-Surface Approximation From a Set of Curves, With Application to Ship Track Data in the Marianas Trench1 // Mathematical Geology (October 2002), Vol. 34, No. 7, , p.831-843

9. Stephen D. Billings, Rick K. Beatsonz, and Garry N. Newsam Interpolation of geophysical data using continuous global surfaces // Geophysics (November - December 2002), Vol. 67, No. 6; p. 1810–1822

10. Jan Rasmus Sulebak and Øyvind Hjelle Multiresolution Spline Models and Their Applications / Geomorphology Concepts and Modeling in Geomorphology: International Perspectives TERRAPUB, Tokyo, 2003. pp. 221–237.

11. Maximov G.A., Larichev V.A., Lesonen D.N., Pod'yachev E.V., Derov A.V. Mathematical model of 3D geological medium with raptures for solution of direct and inverse geophysical problems // 1^st International Conference «From Scientific Computing to Computational Engineering» 1^st IC-SCCE-CD-ROM Proceedings, Athens, Greece 8-10 September, 2004

12. Максимов Г.А., Ларичев В.А., Лесонен Д.Н., Подъячев Е.В., Деров А.В. Математическая модель трехмерной геологической среды с разломами для решения прямых и обратных задач геофизики.//«Гальперинские чтения – 2005» Научно-практическая конференция «ВСП и трехмерные системы наблюдений в сейсморазведке». Москва, ЦГЭ, 24-27 октября 2005. Тезисы докладов, стр.118-121.

13. Ларичев В.А., Лесонен Д.Н., Максимов Г.А.,Подъячев Е.В., Деров А.В. Математическая модель трехмерной геологической среды с разрывами для решения прямых и обратных задач геофизики. // Сборник трудов. ХVI Сессия РАО. 14 -18 ноября 2005 года. Т.1 Физическая акустика. Распространение и дифракция волн. с.321-324. Москва, ГЕОС, 2005г.

14. Лесонен Д.Н., Ларичев В.А., Максимов Г.А., Подъячев Е.В., Деров А.В. Построение структурных сеток трехмерных геологических сред произвольной топологии для решения волновых задач геофизики // Сборник трудов XIХ сессии РАО 24-28 сентября 2007 г., Нижний Новгород. Москва, ГЕОС 2007, Т.1. с.317-320.

15. Максимов Г.А., Ларичев В.А., Лесонен Д.Н., Подъячев Е.В., Деров А.В. Математическая модель трехмерной геологической среды с разломами для решения прямых и обратных задач геофизики. // Вестник ЦКР РОСНЕДРА Т.2 2010 с38-43

16. Гогоненков Г.Н. , Кириллов С.А., Ларичев В.А. , Максимов Г.А . Решение обратной динамической задачи восстановления свойств тонких пластов // Russia Geosciences - To Discover and Develop, CD-ROM Proceedings, A026, Saint Petersburg, Russia, 16 - 19 October 2006

17. Ларичев В.А., Максимов Г.А., Попов П.В. Динамическая инверсия данных поверхностной сейсморазведки на основе глобальной оптимизации сплайновой модели тонкослоистого пласта // Сборник трудов XХ сессии РАО 27-31 октября 2008 г., Москва. Москва, ГЕОС 2008, Т.1. с.348-350